ENERGÍA
Y MATERIA:
MATEMÁTICAS GRÁFICAS EN DOS DIMENSIONES:
VER EL VALOR REAL DE PI.
3. Calcular el valor de p de 3,1415926535… a partir de la igualdad: altura = Öab = y. Una de las formas que hay de demostrar que se puede calcular el valor de p de 3,1415926535… a partir de la igualdad: altura = Öab = y, es usando una hoja de cálculo.
Usando una hoja de cálculo una de las formas que hay de demostrar el valor de p de 3,1415926535… a partir de la igualdad: altura = Öab = y, consiste en “Configurar” la hoja de cálculo de la siguiente manera:
“Unidad de referencia = 1”:
§ § Que se ha determinado que la progresión aritmética en línea del sumando a en la base común que sirve de referencia comience en cero, que crece en la unidad de referencia que se usa y que acaba en c. Y, obviamente, se ha determinado también que la progresión aritmética en línea del sumando b en la base común que sirve de referencia comience en c, que decrece en la unidad de referencia que se usa y que acaba en cero. Es decir, se ha determinado que el valor del sumando a de la suma (a+b)= c crece y el valor del sumando b decrece en la unidad de referencia que se usa en la base común que sirve de referencia.
“c=20”, “c=200”, “c=2.000” y “c=20.000”:
§ § Que se ha determinado, en primer lugar, usar varios valores para c, para poder demostrar que cuanto más elevado es el valor de c mayor es la aproximación al valor de p de 3,1415926535… que se consigue obtener.
§ § Que se ha determinado, en segundo lugar, que el valor del radio (c/2 = radio) sea un valor múltiplo de 10 por lo que se usar para c los valores 2*10, 2*100, 2*1.000 y 2*10.000, con el fin de poder referenciar fácilmente el valor de c de (a+b)=c con (1+1)=2, es decir, para poder igualar el valor del radio con la unidad de referencia que se usa (radio =1) con una sencilla operación de regla del tres simple.
§ § Que se ha determinado, en tercer lugar y condicionado por las limitaciones anteriores, que se usan cuatro valores para c: c=20, c=200, c=2.000 y c=20.000 (y, por tanto aquí, sólo se usan cuatro demostraciones de todas las posibles).
Que no se usa el valor de c=200.000 o superior, porque una hoja de cálculo normalmente no tiene hasta la fila 200.000 para poder hacer el cálculo de forma directa. Y, por lo tanto, para calcular el valor de c=200.000 o superior en una hoja de cálculo normal, y de esta manera, hay que descomponer el cálculo y hacerlo en varias hojas de cálculo de forma parcial y sumar los parciales de las mismas. Y que no merece la pena hacerlo así aquí porque no queda sencilla y clara la demostración.
Que si Ud. quiere puede seguir verificando que cuanto más elevado es el valor de c, mayor es la aproximación al valor de p de 3,1415926535… que se consigue obtener, ya que es muy fácil de hacer (con c=20 se obtiene p con 1 decimal correcto: 3,1; c=200 se obtiene p con 2 decimales correctos: 3,14; c=2.000 se obtiene p con 4 decimales correctos: 3,1415; c=20.000 se obtiene p con 5 decimales correctos: 3,14159; c=200.000 se obtiene p con 7 decimales correctos: 3,1415926; c=2.000.000 se obtiene p con 8 decimales correctos: 3,14159265; etc.).
“p=3,1415926535”:
§ § Que se ha determinado que se usa el valor que la hoja de cálculo tiene asignado para p de 3,1415926535… para que sirva de control, aunque visualmente aquí sólo se muestran los primeros 10 decimales del valor
Que se puede verificar que las hojas de cálculo hacen el cálculo correspondiente según se expresa en la fórmula de cada enunciado (ver las imágenes de las hojas de cálculo más abajo):
§ § “Radio = c/2”:
Calcula el valor del radio del círculo inscrito en c² a partir del valor asignado a c.
§ § “Área círculo = r² * p”:
Calcula el valor del área del círculo inscrito en c², usando el valor que la hoja de cálculo tiene asignado para p de 3,1415926535…, para que sirva de control.
§ § “c² = c*c”:
Calcula el valor del área del cuadrado c² que circunscribe al círculo para que sirva de control.
§ § “Control a = (c+1)*c/2”:
Calcula el valor de la suma de la “progresión aritmética en línea del sumando a” para que sirva de control y se pueda verificar que coincide con el valor de la suma que corresponde a la columna del sumando a (columna encabezada con “a”) de “Totales sumas: a, b, ab y raíz cuadrada ab”.
§ § "Control b = (c+1)*c/2”:
Calcula el valor de la suma de la “progresión aritmética en línea del sumando b” para que sirva de control y se pueda verificar que coincide con el valor de la suma que corresponde a la columna del sumando b (columna encabezada con “b = c-a”) de “Totales sumas: a, b, ab y raíz cuadrada ab”.
§ § “Control número de sumas”:
Cuenta el número de sumas efectuadas para que sirva de control y se pueda verificar que es igual a c+1.
§ § “Control suma a+b”:
Calcula el valor de cada suma a+b para que sirva de control y se pueda verificar que cada suma es igual a c.
§ § Columna C encabezada con “a”:
Calcula en cada “Fila” de la “Columna C” el valor que le corresponde de la “progresión aritmética en línea del sumando a”, que se ha determinado que comience en cero, que crece en la unidad de referencia que se usa y que acaba en c.
§ § Columna D encabezada con “b = c-a”:
Calcula en cada “Fila” de la “Columna D” el valor que le corresponde de la “progresión aritmética en línea del sumando b”, que se ha determinado que comience en c, que decrece en la unidad de referencia que se usa y que acaba en cero.
§ § Columna E encabezada con “ab”:
Calcula el valor “ab” que le corresponde a cada “Fila” de la “Columna E”.
§ § Columna F encabezada con “raíz cuadrada ab”:
Calcula el valor “raíz cuadrada ab” que le corresponde a cada “Fila” de la “Columna F”.
§ § “Totales sumas: a, b, ab y raíz cuadrada ab”:
Calcula el valor de la suma de la respectiva columna de: “a”, “b=c-a”, “ab” y “raíz cuadrada de ab”.
§ § “Total cálculo p = (Total suma raíz ab = medio círculo) * 2 = Área Círculo cálculo de p”:
Calcula el valor del área del círculo inscrito en c² multiplicando por dos el valor de la suma que corresponde a la columna de la “raíz cuadrada ab” de “Totales sumas: a, b, ab y raíz cuadrada ab”. Suma de la “raíz cuadrada ab” que es el valor del área de medio círculo inscrito en c² como Ud. ya sabe, ya que la suma (a+b)² = c² = a² + b² + 2ab contiene dos valores ab.
Que se puede verificar que con c=20 en “Total cálculo p” se obtienen 310 unidades para el valor del área del círculo inscrito en c² sobre 314 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que con c=200 en “Total cálculo p” se obtienen 31.404 unidades para el valor del área del círculo inscrito en c² sobre 31.415 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que con c=2.000 en “Total cálculo p” se obtienen 3.141.555 unidades para el valor del área del círculo inscrito en c² sobre 3.141.592 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que con c=20.000 en “Total cálculo p” se obtienen 314.159.147 unidades para el valor del área del círculo inscrito en c² sobre 314.159.265 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
§ § “Despejando p de Total cálculo p = (Total cálculo p = Área Círculo cálculo de p) / r * r”:
Calcula el valor de p despejando p del “Total cálculo p” que es el valor calculado para el área del círculo inscrito en c². Área del círculo inscrito en c² = r² * p.
· · Área del círculo inscrito en c² = r² * p.
· · p = Área del círculo inscrito en c² / r².
Que se puede verificar que con c=20 se calcula 1 decimal correcto del valor de p=3,1415926535 que sirve de control:
·
· p = 310 / 10² = 3,10.
Que se puede verificar que con c=200 se calculan 2 decimales correctos del valor de p=3,1415926535 que sirve de control:
·
· p = 31.404 / 100² = 3,1404.
Que se puede verificar que con c=2.000 se calculan 4 decimales correctos del valor de p=3,1415926535 que sirve de control:
·
· p = 3.141.555 / 1000² = 3,141555.
Que se puede verificar que con c=20.000 se calculan 5 decimales correctos del valor de p=3,1415926535 que sirve de control:
·
· p = 314.159.147 / 10000² = 3,14159147.
§ § “Diferencia a p en unidades = (Total cálculo p) - (Área círculo = r² *p)”:
Calcula la diferencia a p en unidades de los valores de ”(Total cálculo p) - (Área círculo = r² *p)” y al ser mayor el segundo valor, que es el que sirve de control, la diferencia es negativa.
Que se puede verificar que para c=20 la diferencia es de –3 unidades sobre 314 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=200 la diferencia es de –11 unidades sobre 31.415 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=2.000 la diferencia es de –37 unidades sobre 3.141.592 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=20.000 la diferencia es de –117 unidades sobre 314.159.265 unidades que vale el “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
§ § “Aproximación a p en % = (Total cálculo p) * 100 / (Área círculo = r² *p) = %”:
Calcula la aproximación a p en % con una regla del tres simple a partir del “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=20 la aproximación a p en % llega al 98,81988751 % a partir del “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=200 la aproximación a p en % llega al 99,9625788 % a partir del “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=2.000 la aproximación a p en % llega al 99,99881631 % a partir del “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
Que se puede verificar que para c=20.000 la aproximación a p en % llega al 99,99996257 % a partir del “Área círculo = r² *p” que sirve de control.
§ § Nota_1: Se ha determinado que comience en cero, que crece en la unidad de referencia que se usa y que acaba en c, es decir, se ha determinado que la progresión aritmética en línea del sumando a comience en cero, e inversamente también se ha determinado que la progresión aritmética en línea del sumando b comience en cero.
§
Y se puede verificar que el primero y el último valor de “ab” y “raíz cuadrada de ab” son iguales a cero. Por lo que para este cálculo de p se obtiene el mismo resultado se comience la progresión en cero o en uno.
§
§
§ § Nota_2: Que se puede verificar que cuanto más elevado es el valor de c, la “Diferencia a p en unidades” entre el valor del cálculo del área del círculo inscrito en c² de “Total cálculo p” y el valor del cálculo del “Área círculo = r² * p”, que sirve de control, es cada vez mayor.
§
Que se puede verificar también que cuanto más elevado es el valor de c, la “Aproximación a p en %” entre el valor del cálculo del área del círculo inscrito en c² de “Total cálculo p” y el valor del cálculo del “Área círculo = r² * p”, que sirve de control, es cada vez menor.
1. · Que en términos absolutos: La diferencia en unidades es cada vez MAYOR.
2. · Que en términos relativos: La diferencia en % es cada vez MENOR.
§ § Nota_3: Bájate en archivo Excel y comprimido:
"c=20.zip": Calcula p con 1 decimal correcto: 3,1.
"c=200.zip": Calcula p con 2 decimales correctos: 3,14.
"c=2000.zip": Calcula p con 4 decimales correctos: 3,1415.
"c=20000.zip". Calcula p con 5 decimales correctos: 3,14159.
§ § Nota_4: Incluso se puede calcular fácilmente “a mano” c=20 con 1 decimal correcto de p.
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Configuración |
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Unidad de referencia = |
1 |
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c = |
20 |
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p = |
3.1415926536 |
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Radio = c/2 = |
10 |
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Área círculo = r² *p = |
314.1592654 |
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c² = c*c = |
400 |
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|
Control a = (c+1)*c/2 = |
210 |
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|
|
|
|
|
Control b = (c+1)*c/2 = |
210 |
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|
Control número de sumas |
Control suma a+b |
a |
b = c-a |
ab |
raíz cuadrada ab |
|
|
1 |
20 |
0 |
20 |
0 |
0 |
|
|
2 |
20 |
1 |
19 |
19 |
4.358898944 |
|
|
3 |
20 |
2 |
18 |
36 |
6 |
|
|
4 |
20 |
3 |
17 |
51 |
7.141428429 |
|
|
5 |
20 |
4 |
16 |
64 |
8 |
|
|
6 |
20 |
5 |
15 |
75 |
8.660254038 |
|
|
7 |
20 |
6 |
14 |
84 |
9.16515139 |
|
|
8 |
20 |
7 |
13 |
91 |
9.539392014 |
|
|
9 |
20 |
8 |
12 |
96 |
9.797958971 |
|
|
10 |
20 |
9 |
11 |
99 |
9.949874371 |
|
|
11 |
20 |
10 |
10 |
100 |
10 |
|
|
12 |
20 |
11 |
9 |
99 |
9.949874371 |
|
|
13 |
20 |
12 |
8 |
96 |
9.797958971 |
|
|
14 |
20 |
13 |
7 |
91 |
9.539392014 |
|
|
15 |
20 |
14 |
6 |
84 |
9.16515139 |
|
|
16 |
20 |
15 |
5 |
75 |
8.660254038 |
|
|
17 |
20 |
16 |
4 |
64 |
8 |
|
|
18 |
20 |
17 |
3 |
51 |
7.141428429 |
|
|
19 |
20 |
18 |
2 |
36 |
6 |
|
|
20 |
20 |
19 |
1 |
19 |
4.358898944 |
|
|
21 |
20 |
20 |
0 |
0 |
0 |
|
|
Totales sumas a, b, ab y raíz cuadrada ab = |
210 |
210 |
1330 |
155.2259163 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
Total cálculo p = (Total suma raíz ab = medio círculo) * 2 = Área Círculo cálculo de p = |
310.4518326 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Despejando p de Total cálculo p = (Total cálculo p = Área Círculo cálculo de p) / r * r |
3.104518326 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Diferencia a p en unidades = (Total cálculo p) - (Área círculo = r² *p) = |
|
-3.71 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aproximación a p en % = (Total cálculo p) * 100 / (Área círculo = r² *p) = % |
98.81988751 |
% |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Diferencia a c² en unidades = (Control a = (c+1)*c/2) + (Control b = (c+1)*c/2) - (c² = c*c) = |
20 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aproximación a c² % =((Control a =(c+1)*c/2) +(Control b =(c+1)*c/2)) * 100 /(c² =c*c) =100 +100/c = |
105 |
% |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ud. va a poder ver, literalmente, cual es el valor real de pi.
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