ENERGÍA Y MATERIA:
MATEMÁTICAS GRÁFICAS EN DOS DIMENSIONES:
VER EL VALOR REAL DE PI.
13. Ver el valor real de p. Una de las formas que hay de representar gráficamente en dos dimensiones el valor real p es por medio del triángulo rectángulo r²= x²+y².
Ud. ya sabe que en el triángulo rectángulo r²= x²+y² se ha determinado y se determina:
§ Que el radio es la hipotenusa del mismo y su valor es, obviamente, siempre el mismo independientemente de la posición que tome el radio.
§ Que y es su altura, y que es determinada por el valor Öab de la suma (a+b)²=c².
§ Que x es su base, y que es parte de la base común que sirve de referencia y que es determinada por el valor de la progresión aritmética al cuadrado de (a+b)=c de la suma (a+b)²=c².
§ Que se determina que x se ubica en la progresión aritmética al cuadrado del sumando a de valor igual a r+x para que comience en uno.
§ Que la fórmula real de la suma de la progresión aritmética al cuadrado de x es igual a r²/2, al que damos en llamar Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x, y que forma la figura de un triángulo rectángulo de valor r²/2.
§ Que la fórmula real de la suma de la progresión aritmética al cuadrado de x es igual a r²/2, y que si se divide entre el valor del radio se obtiene el valor real de la media de x, al que damos en llamar Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x = r²/2/r=r/2.
§ Que multiplicando el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x por r se obtiene la figura de un rectángulo de valor r/2*r. Rectángulo de valor r/2*r que equivale al triángulo rectángulo de valor r²/2 al que hemos dado en llamar Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x.
§ Que la figura del rectángulo de valor r/2*r también representa el Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x, y que se obtiene a partir del Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x (y que equivale a un cuadrado de valor (Ö(r/2*r))².
Es obvio:
· Que la fórmula real de la suma de progresión aritmética al cuadrado de r es igual a r², al que damos en llamar Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r, ya que se determina que comience en r, que crece en 0 unidades y que acaba en r. Y que en dos dimensiones la representación gráfica del valor perfecto de la suma de la progresión aritmética al cuadrado de r, es igual a la figura de un cuadrado de valor r².
· Que la fórmula real de la suma de progresión aritmética al cuadrado de r es igual a r² y que si se divide entre el valor del radio se obtiene el valor real de la media de r, al que damos en llamar Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r = r²/r=r.
· Que el valor real de la media de la progresión aritmética de r siempre es igual a r²/r=r.
· Que multiplicando el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r por r se obtiene la figura de un cuadrado de valor r2. Cuadrado de valor r² que equivale al cuadrado de valor r² al que hemos dado en llamar Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r.
· Que la figura del cuadrado de valor r² representa el Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r, y que se obtiene también a partir del Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r.
De los tres valores del triángulo rectángulo r²= x²+y² se conoce el valor real de la suma y de la media de 2 progresiones aritméticas que generan 2 de los 3 valores de dicha fórmula, es decir, se conoce la suma y la media de las progresiones aritméticas de los valores r y x (no confundir con la suma y la media de las progresiones geométricas de los valores r² y x²).
Que se puede usar cualquier valor para r pero aquí se va a referenciar el valor de r con la unidad (r=1, recuerde que si usa otro valor para el radio al final lo tendrá que referenciar con la unidad para obtener el valor real de p) y aplicando la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y² con el valor real de la media de 2 progresiones aritméticas que generan 2 de los 3 valores de dicha fórmula se va a calcular el valor real de la media de la tercera progresión aritmética:
· r²=x²+y² Þ r²=(r/2)²+y² Þ 1²=(1/2)²+y² Þ 1²=0,5²+y² Þ 1=0,25+y² Þ 1-0,25=y² Þ 0,75=y².
Que sacando raíz cuadrada se obtiene el valor real de la media de y, al que damos en llamar Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y:
· Ö0,75=Öy² Þ 0,8660…=y.
Que multiplicando el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y por r se obtiene la figura de un rectángulo al que damos en llamar Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y:
· y*r = 0,8660…*1 = 0,8660… (y que equivale a un cuadrado de valor (Ö(r*y))²= (Ö(1*0,8660…))²= 0,9306…²= 0,8660…).
Y que la figura del rectángulo de valor y*r representa el Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y aunque no se saque directamente de la suma de la progresión aritmética al cuadrado de y, ya que se obtiene a partir del Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y.
Que como consecuencia de todo lo anterior se tiene el valor real de la media de 3 progresiones aritméticas y el valor real de la suma de esas mismas 3 progresiones aritméticas ya que la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y² se cumple siempre, es decir, que cuando la suma del valor al cuadrado de 2 números, representen cuadrados o la media de progresiones aritméticas o lo que representen, es igual al tercer valor al cuadrado, represente el otro cuadrado o la otra media de progresión aritmética o lo otro que represente, existe entre ellos la relación de la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y².
Resumiendo (y para no equivocarse, ya que es muy fácil confundir los conceptos):
· Son valores de 1 dimensión:
El segmento que representa el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r de valor r²/r=r.
El segmento que representa el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x de valor r²/2/r=r/2.
El segmento que representa el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y de valor Ö(r²-(r/2)²)=y.
· Son valores de 2 dimensiones:
El cuadrado que equivale al Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r de valor r*r=r², y que se obtiene a partir del Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de r de valor r²/r=r que se multiplica por r.
El rectángulo que equivale al Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x de valor r/2*r, y que se obtiene a partir del Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de x de valor r²/2/r=r/2 que se multiplica por r.
El rectángulo que equivale al Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y de valor y*r, y que se obtiene a partir del Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y de valor Ö(r²-(r/2)²)=y que se multiplica por r.
Ahora la incógnita está en saber que representa en el cuadrado de c² el Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y (si Ud. ha leído "... :Ver la Cuadratura del Círculo: Calcular el valor de ñ”: Ud. ya lo sabe).
Ud. ya sabe que una de las formas que hay de representar gráficamente en dos dimensiones la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y² es usando un cuadrado de valor igual a r². Que, obviamente, el número de sumas posibles es igual a r. Y que cuando el cuadrado x²¹r² su complemento y² completa el cuadrado de valor r², e inversamente cuando el cuadrado y²¹r² su complemento x² completa el cuadrado de valor r².
En la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y² coexisten a la vez 2 series de datos:
· La primera serie de datos está formada por las 3 progresiones aritméticas que generan los 3 valores de dicha fórmula y que se corresponden con cada lado de cada uno de los cuadrados de la fórmula.
Y, además, las progresiones aritméticas son valores de 1 dimensión pero la suma de cada progresión aritmética genera un valor de 2 dimensiones.
· La segunda serie de datos está formada por las 3 progresiones geométricas que generan las 3 progresiones aritméticas de la primera serie de datos y que se corresponden con el área de cada uno de los cuadrados de la fórmula.
Y, además, las progresiones geométricas son valores de 2 dimensiones pero la suma de cada progresión geométrica genera un valor de 3 dimensiones.
Es decir, que:
§ Son valores de 1 dimensión la progresión aritmética al cuadrado de r.
Es un valor de 2 dimensiones la suma de la progresión aritmética al cuadrado de r, que es igual a un cuadrado de valor r²=1.
Es un valor de 3 dimensiones la suma de progresión geométrica al cuadrado de r², que es igual a un cubo de valor r3.
§ Son valores de 1 dimensión la progresión aritmética al cuadrado de x.
Es un valor de 2 dimensiones la suma de la progresión aritmética al cuadrado de x, que es igual a un triángulo rectángulo de valor r²/2=0,5 (y que equivale a un rectángulo r*r/2= 1*1/2= 0,5 y que también equivale a un cuadrado de valor (Ö(r*r/2))²= (Ö(1*1/2))²= 0,7071…²= 0,5).
Es un valor de 3 dimensiones la suma de progresión geométrica al cuadrado de x², que es igual a una pirámide de valor r3*1/3.
§ Son valores de 1 dimensión la progresión aritmética al cuadrado de y.
Es un valor de 2 dimensiones la suma de la progresión aritmética al cuadrado de y, que es igual a un rectángulo de valor r*y=0,8660… (y que equivale a un cuadrado de valor (Ö(r*y))²= (Ö(1*0,8660…))²= 0,9306…²= 0,8660…).
Es un valor de 3 dimensiones la suma de progresión geométrica al cuadrado de y², que es igual a una pirámide irregular de valor r3*2/3 y de base cuadrada de valor r².
La primera serie de datos está formada por las 3 progresiones aritméticas que generan los 3 valores de la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y² y, además, las progresiones aritméticas son valores de 1 dimensión pero la suma de cada progresión aritmética genera un valor de 2 dimensiones:
· La suma de la progresión aritmética al cuadrado de r, es igual a un cuadrado de valor r²=1 y en el cuadrado de c² hay 4 sumas de progresiones aritmética al cuadrado de r, es decir, en el cuadrado de c² hay 4 cuadrados de valor r²=1. Son 4 cuadrados de valor r²=1: 4*r²= 4*1= 4r²= 4.
· La suma de la progresión aritmética al cuadrado de x, es igual a un triángulo rectángulo de valor r²/2=0,5 y en el cuadrado de c² hay 4 sumas de progresiones aritmética al cuadrado de x, es decir, en el cuadrado de c² hay 4 triángulos rectángulos de valor r²/2=0,5 (nota: Ud. ya sabe que es indiferente que se representen gráficamente en horizontal o en vertical). Son 4 triángulos rectángulos de valor r²/2=0,5: 4*r²/2= 4*0,5= 2r²= 2.
· Y la suma de la progresión aritmética al cuadrado de y, es igual a un a un rectángulo de valor r*y=0,8660… y en el cuadrado de c² hay 4 sumas de progresiones aritmética al cuadrado de y, es decir, en el cuadrado de c² hay 4 rectángulos de valor r*y=0,8660… (Ud. ya sabe que existe entre las progresiones aritméticas al cuadrado de r, de x y de y la relación de la fórmula del triángulo rectángulo r²= x²+y²). Son 4 rectángulos de valor r*y= 0,8660…: 4*(r*y) =4*0,8660…= 4ry= 3,4641….
Ud. ya sabe que el Cuadrado Interior de Área Media Equivalente, en dos dimensiones al cuadrado, se obtiene como resultado de dividir entre dos la suma del área del cuadrado de c², que circunscribe al círculo, más el área del cuadrado interior, que está inscrito en el círculo. Cuadrado Interior de Área Media Equivalente = ((a+b)² + a²+b²)/2 = (a²+b²+2ab+a²+b²)/2 = a²+b²+ab = 3a²= 3b²= 3r²= 3.
En el cuadrado de c² también hay 4 valores (r²-(r/2)²)=0,75 y equivale cada uno a un cuadrado de valor (Ö(r²-(r/2)²))²= (Ö0,75)²= (0,8660…)²= 0,75. Son 4 valores (r²-(r/2)²)=0,75: 4*(r²-(r/2)²)= 4*0,75= 3r²= 3. Es decir, que los cuatro valores iguales de donde se obtiene el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y de valor total 3r²= 3, equivalen y se representan en el cuadrado de c² por el Cuadrado Interior de Área Media Equivalente de valor 3r²= 3.
Ud. ya sabe que:
· En el cuadrado de c² hay 4 cuadrados de valor (r²-(r/2)²)= (1²-(0,5)²)=0,75, y sacando la raíz cuadrada de cualquiera de los 4 cuadrados se obtiene el valor real de la media de y, al que damos en llamar Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y: Ö0,75=Öy² = 0,8660…=y.
· Multiplicando el Valor Perfecto de la Media de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y por r se obtiene la figura de un rectángulo al que damos en llamar Valor Perfecto de la Suma de la Progresión Aritmética al Cuadrado de y: r*y = 1*0,8660… = 0,8660… y que equivale a un cuadrado de valor (Ö(r*y))²= (Ö(1*0,8660…))²= 0,9306…²= 0,8660….
· En el cuadrado de c² hay 4 rectángulos de valor r*y=0,8660… y equivalen a 4 cuadrados de valor (Ö(r*y))²= (Ö(1*0,8660…))²= 0,9306…²= 0,8660…. Son 4 rectángulos de valor r*y: 4*(r*y)= 4*(1*0,8660…)= 3,4364… de valor en total los 4 rectángulos, y equivalen a 4 cuadrados de valor (Ö(r*y))²: 4*(Ö(r*y))²= 4*(Ö(1*0,8660…))²= 4*0,9306…²= 3,4641… de valor en total los 4 cuadrados (y equivalen a un cuadrado de valor (Ö3,4641…)² = 1,8612…²).
Es decir, que a partir de los 4 cuadrados de valor total 3r²=3 que forman el Cuadrado Interior de Área Media Equivalente, se ha obtenido el que damos en llamar Cuadrado Interior de Área Equivalente a la Suma de las 4 Progresiones Aritméticas al Cuadrado de y, formado por 4 cuadrados de valor total 3,4641… (y que equivalen a un cuadrado de valor (Ö3,4641…)² = 1,8612…²).
A efectos meramente informativo se puede decir que se ha producido una “rectificación” de los 4 cuadrados de valor por cuadrado de 0,75 que forman el Cuadrado Interior de Área Media Equivalente. Que se han “rectificado” y pasan a ser 4 cuadrados de valor por cuadrado de 0,8660…, por lo que se han “rectificado” en 0,8660…-0,75= 0,116… de unidad por unidad de c².
Ud. ya sabe que el círculo, el cuadrado de c² que lo circunscribe y el cuadrado interior inscrito en él, tienen en el radio del primero un valor común a los tres. Por lo que se puede usar el radio como referencia para computar sus diferentes áreas. Por lo que se va a usar el radio como referencia (recuerde que r=1, y que si usa otro valor para el radio al final lo tendrá que referenciar con la unidad para obtener el valor real de p) y como el valor del sumando a (radio=sumando a) para calcular el valor del sumando b del Cuadrado Interior de Área Equivalente a la Suma de las 4 Progresiones Aritméticas al Cuadrado de y, formado por 4 cuadrados de valor total 3,4641… (y que equivalen a un cuadrado de valor (Ö3,4641…)² = 1,8612…²).
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· a²+b² = 1²+b² = 3,4641… |
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· b² = 3,4641…-1² = 2,4641… |
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· Öb² = Ö2,4641… |
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· b = 1,5697... |
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· 2b = 3,139491... |
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· Valor real p = 2b = 3,139491... |
Por lo que Ud. ya sabe como obtener el valor real de p de 3,139491..., es decir, Ud. es un privilegiado porque ha podido ver, literalmente y aunque parezca imposible e increíble, el valor real de p.
Ud. ya sabe que para formar el Cuadrado Interior de Valor 1²+ñ² se puede proceder a "cortar" cada uno de esos cuatros puntos que tienen en común sus respectivos perímetros y "rectificar" a partir de ellos el perímetro del círculo. Para formar el área equivalente al área del círculo inscrito en el cuadrado de c² hay que trazar las hipotenusas que completan los cuatros triángulos rectángulos formados con los radios y los perímetros "rectificados". Se desarrolla la demostración de la fórmula, en donde, el sumando a=radio y el sumando b=1/4 del perímetro del círculo que ha sido totalmente "rectificado". El valor del sumando a=1. Se desconoce, por el momento, el valor del sumando b al que se le denomina con la letra española ñ.
(a + b)² = c² = a² + b² + 2ab
(a + b)² = c² = a² + b² + 4(ab/2)
(a + b)² = c² = h² + 4(ab/2)
c² - 4(ab/2) = a² + b²
ca² + ca² = h² = a² + b²
h² = a² + b² = 1² + ñ ² = Cuadrado Interior de Valor 1² + ñ²
Hay que leer “…:Ver la cuadratura del círculo: Calcular el valor de ñ” para saber calcular el valor del Cuadrado Interior de Valor 1²+ñ² que equivale a la "rectificación" del Cuadrado Interior de Área Media Equivalente del cuadrado de c² de valor 4 ((1+1)²). O, si se prefiere, equivale al 0,8660... por unidad del mismo cuadrado de c².
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· 1²+ñ² = c² * 0,8660… = 4 * 0,8660… = 3,4641… |
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· ñ² = 3,4641… - 1² = 2,4641… |
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· ñ = Ö2,4641… = 1,5697... |
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· 2ñ = 3,139491... |
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· Valor real p = 2ñ= 3,139491... |
El Cuadrado Interior de Área Equivalente a la Suma de las 4 Progresiones Aritméticas al Cuadrado de y equivale y se representa en el cuadrado de c² por el Cuadrado Interior de Valor 1²+ñ² (recuerde que r=1, y que si usa otro valor para el radio al final lo tendrá que referenciar con la unidad para obtener el valor real de p).
Por lo que Ud. ya sabe lo que representa la letra española ñ, y sabe también como obtener el valor de ñ de 1,5697…, es decir, Ud. es un privilegiado porque ya sabe lo que representa la letra española ñ y sabe también como obtener su valor de 1,5697…
Ud. va a poder ver, literalmente, cual es el valor real de pi.
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